RUMUS SEJARAH

LISTRIK STATIS

Petir adalah suatu kejadian alam yang luar biasa, karena dalam setiap kejadiannya energi yang dilepaskan lebih besar daripada yang dihasilkan oleh seluruh pusat pembangkit tenaga listrik di Amerika. Cahaya yang dikeluarkan oleh petir lebih terang daripada cahaya 10 juta bola lampu pijar berdaya 100 watt. Hal lain yang menakjubkan bahwa molekul-molekul nitrogen, yang sangat penting untuk tumbuhan, muncul dari kekuatan ini.

Mengapa petir dapat membebaskan energi? Darimana petir mendapatkan energi listrik?

Berapa biaya listrik yang dapat kita hemat jika kita dapat mengumpulkan energi dari petir?

Saat kita merenungi semua perihal petir ini, kita dapat memahami bahwa peristiwa alam ini adalah sesuatu yang menakjubkan. Bagaimana sebuah kekuatan luar biasa semacam itu muncul dari partikel bermuatan positif (proton) dan negatif (elektron) dari dalam sebuah atom, yang tak terlihat oleh mata telanjang. Perbedaan jumlah proton dan elektron dalam sebuah atom mengakibatkan atom bermuatan listrik. Karena semua benda tersusun oleh atom-atom, maka perubahan muatan listrik pada atom akan mengakibatkan perubahan listrik pada benda.

Setiap benda memiliki kecenderungan untuk berada dalam keadaan netral, oleh karena itu jika benda bermuatan maka secara spontan dapat membebaskan muatannya. Salah satu contohnya adalah petir. Sifat-sifat muatan listrik antara lain: 1) listrik terdiri dari dua jenis muatan yaitu muatan positif dan negatif, 2)muatan listrik akan saling berinteraksi, muatan sejenis tolak menolak dan muatan tidak sejenis tarik-menarik. Para ahli berusaha memanfaatkan muatan listrik statis untuk berbagai keperluan dalam kehidupan sehari-hari.

Bagaimana Benda dapat Bermuatan Listrik?
Setiap zat tersusun atas atom-atom, dengan demikian muatan listrik suatu zat tergantung dari jenis muatan listrik atom-atomnya. Jika atom-atom benda lebih cenderung melepaskaan elektron, maka zat yang disusunnya lebih cenderung bermuatan positif. Sebaliknya jika atom-atom benda lebih cenderung menangkap elektron, maka zat yang disusunnya cenderung bermuatan negatif. Dengan demikian muatan listrik sebuah benda sangat tergantung dengan muatan listrik atom-atom penyusunnya.

Bagaimana cara membuat benda bermuatan listrik?

Suatu benda dapat dimuati listrik dengan dua cara yaitu:

1. Menggosok

a. Menggosok penggaris plastik dengan kain wool --> Penggaris menjadi bermuatan listrik jenis negatif.
b. Menggosok kaca dengan kain sutera --> Kaca menjadi bermuatan listrik jenis positif.

Mengapa dengan menggosokkan benda ke benda lain dapat membuat benda bermuatan listrik? Apakah semua benda jika digosokkan akan bermuatan listrik?

Muatan listrik pada sebuah benda, sangat dipengaruhi olah muatan listrik atom-atom penyusunnya. Ada atom-atom yang cenderung melepas elektron, tetapi ada juga atom-atom yang cenderung mengikat elektron. Jika dua benda tersusun dari atom-atom yang memiliki perbedaan sifat tersebut saling digosokkan maka, maka interaksi itu akan lebih mudah membuat benda bermuatan listrik.

Dari animasi di atas. Jika kain sutera digosokkan pada kaca, maka elektron-elektron kaca akan berpindah menuju sutera, sehingga kaca menjadi bermuataan positif. sementara itu kain sutera menjadi bermuatan negatif karena mendapat tambahan elektron.

Jika kain wool digosokkan pada plastik, maka elektron-elektron kain wool akan berpindah menuju plastik, sehingga plastik menjadi bermuataan negatif. sementara itu kain wool menjadi bermuatan positif karena kehilangan elektron-elektronnya.

2. Induksi

Bagaimana proses pemuatan listrik dengan induksi?

Induksi dapat dilakukan dengan cara mendekatkan benda yang bermuatan listrik ke benda netral. Akibatnya benda netral akan terpolarisasi. Jika benda netral yang telah terpolarisasi di hubungkan dengan tanah (di ground kan), maka elektron-elektronnya akan mengalir menuju tanah. Setelah penghantar yang menuju tanah di hilangkan dan benda bermuatan listrik dijauhkan, maka benda netral akan menjadi kekurangan elektron (bermuatan positif). Induksi dalam jumlah muatan tertentu dapat mengakibatkan muatan listrik melompati gap (jarak pemisah), dalam hal ini dapat menimbulkan lintasan bunga api. Salah satu peristiwa yang besar adalah terjadinya petir.

Sifat Muatan Listrik --> Muatan listrik dapat menarik benda-benda kecil

Potongan kertas kecil-kecil dapat menempel pada penggaris yang bermuatan listrik karena adanya gaya listrik. Jika gaya listrik lebih besar dari gaya gravitasi benda maka benda akan menempel pada penggaris, sebaliknya jika gaya listrik kurang dari gaya gravitasi, maka benda tidak akan menempel.

Interaksi antara dua muatan listrik baik berupa gaya tolak atau gaya tarik dapat digambarkan dengan menggunakan garis-garis gaya listrik berikut:

SIFAT KOLIGATIF LARUTAN

4 macam sifat koligatif larutan:
o Penurunan tekanan uap
o Kenaikan titik didih larutan
o Penurunan titik beku larutan
o Tekanan osmotik

I. PENURUNAN TEKANAN UAP (ΔP)
Keterangan :
ΔP : penurunan tekanan uap
Po : tekanan uap jenuh pelarut
P : tekanan uap jenuh larutan
Xp : fraksi mol pelarut
Xt : fraksi mol terlarut

Penting!!
Jika zat pelarut atau terlarut merupakan elektrolit maka ditambahkan faktor Van’t Hoff (i) pada rumus fraksi mol (mol zat elektrolit (pelarut atau terlarut) dikali i)

Keterangan :
α : derajat ionisasi → elektrolit kuat α = 1
n : jumlah ion
cnth: Al2(SO4)3 → n = 5
H2SO4 → n = 3

II. KENAIKAN TITIK DIDIH (ΔTb)
Keterangan :
ΔTb : kenaikan titik didih
Kb : konstanta kenaikan titik didih molal pelarut
m : molalitas zat terlarut
Tb air = 100oC
i : faktor Van’t Hoff

III. PENURUNAN TITIK BEKU (ΔTf)
Keterangan :
ΔTf : penurunan titik beku
Kf : konstanta penurunan titik beku molal pelarut
m : molalitas zat terlarut
Tf air = 0oC
i : faktor Van’t Hoff

IV. TEKANAN OSMOTIK (∏)
Keterangan :
M : molaritas larutan (M)
R : 0,082

ASAM, BASA, DAN GARAM

UNSUR, SENYAWA, DAN CAMPURAN

Zat Adalah sesuatu yang memiliki massa dan menempati ruang. Zat bisa berupa zat padat, zat cair dan zat gas. Zat berdasarkan kemurniannya dapat dibagi lagi menjadi tiga, yaitu :

A. Unsur

Unsur adalah suatu zat yang sudah tidak bisa dibagi-bagi lagi menjadi bagian yang lebih kecil.

Contoh unsur :
- Unsur Emas / Au (Aurum)
- Unsur Nitrogen / N
- Unsur Platina / Pt
- Unsur Karbon / Carbon / C

B. Senyawa

Senyawa adalah zat tunggal yang terdiri atas beberapa unsur yang saling kait-mengait.

Contoh Senyawa :
- Senyawa Oksigen / O2
- Senyawa Air / H2O
- Senyawa Alkohol / C2 H5 OH
- Senyawa Garam Dapur / NaCl

C. Campuran

Campuran adalah zat yang tersusun dari beberapa zat yang lain jenis dan tidak tetap susunannya dari unsur dan senyawa.

Contoh Campuran :
- Udara
- Tanah
- Air

RUMUS KIMIA

Rumus kimia adalah rumus yang menyatakan lambang atom dan jumlah atom unsur yang menyusun senyawa. Rumus kimia disebut juga rumus molekul, karena penggambaran yang nyata dari jenis dan jumlah atom unsur penyusun senyawa yang bersangkutan.

Berbagai bentuk rumus kimia sebagai berikut:

1. Rumus kimia untuk molekul unsur monoatomik.

Rumus kimia ini merupakan lambang atom unsur itu sendiri.

Contoh : Fe, Cu, He, Ne, Hg.

2. Rumus kimia untuk molekul unsur diatomik.

Rumus kimia ini merupakan penggabungan dua atom unsur yang sejenis dan saling berikatan.

Contoh : H2, O2, N2, Cl2, Br2, I2.

3. Rumus kimia untuk molekul unsur poliatomik.

Rumus kimia ini merupakan penggabungan lebih dari dua atom unsur yang sejenis dan saling berikatan.

Contoh : O3, S8, P4.

4. Rumus kimia untuk molekul senyawa ion

Merupakan rumus kimia yang dibentuk dari penggabungan antar atom yang bermuatan listrik, yaitu ion positif (kation) dan ion negatif (anion). Ion positif terbentuk karena terjadinya pelepasan elektron (Na+, K+, Mg2+), sedangkan ion negatif terbentuk karena penangkapan elektron (Cl-, S2-, SO42-).

Penulisan rumus kimia senyawa ion sebagai berikut.

-Penulisan diawali dengan ion positif (kation) diikuti ion negatif (anion).

-Pada kation dan anion diberi indeks, sehingga didapatkan senyawa yang bersifat netral (jumlah muatan (+) = jumlah muatan (-)).

-Bentuk umum penulisannya sebagai berikut.

Contoh :
Na+ dengan Cl- membentuk NaCl.
Mg2+ dengan Br- membentuk MgBr2.
Fe2+ dengan SO42- membentuk FeSO4.

5. Rumus kimia untuk senyawa biner nonlogam dengan nonlogam.

Penulisan rumus kimia ini berdasarkan kecenderungan atom yang bermuatan positif diletakkan di depan, sedangkan kecenderungan atom bermuatan negatif diletakkan di belakang menurut urutan atom berikut ini.

B – Si – C – S – As – P- N – H – S – I – Br – Cl – O – F

Contoh : CO2, H2O, NH3.

6. Rumus kimia /rumus molekul senyawa organik.

Rumus ini juga menunjukkan jenis dan jumlah atom penyusun senyawa organik yang berdasarkan gugus fungsi masing – masing senyawa.

Contoh :

CH3COOH : asam asetat

CH4 : metana (alkana)

C2H5OH : etanol (alkohol)

7. Rumus kimia untuk senyawa anhidrat.

Anhidrat merupakan sebutan dari garam tanpa air kristal (kehilangan molekul air kristalnya) atau H2O.

Contoh :

CaCl2 anhidrous atau CaCl2.2H2O.

CuSO4 anhidrous atau CuSO4.5H2O.

8. Rumus kimia untuk senyawa kompleks.

Penulisan rumus senyawa dan ion kompleks ditulis dalam kurung siku [...].

Contoh :

Na2[MnCl4]

[Cu(H2O)4](NO3)2

K4[Fe(CN)6]

RUMUS EMPIRIS

Rumus empiris merupakan rumus kimia yang menyatakan jenis dan perbandingan paling sederhana (bilangan bulat terkecil) dari atom – atom penyusun senyawa.

Contoh :

C12H22O11 (gula)

CH2O (glukosa)

C2H6O (alkohol)

CHO2 (asam oksalat)

RUMUS STRUKTUR

Rumus struktur merupakan rumus kimia yang menggambarkan posisi atau kedudukan atom dan jenis ikatan antar atom pada molekul.

Rumus struktur secara singkat dituliskan :

CH3CH3

CH3COOH

RUMUS BANGUN/BENTUK MOLEKUL

Adalah rumus kimia yang menggambarkan kedudukan atom secara geometri/ tiga dimensi dari suatu molekul.

BILANGAN BULAT

Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0oC digunakan tanda negatif. Pada tekanan 1 atmosfer, suhu air mendidih 100oC dan membeku pada suhu 0oC. Jika air berubah menjadi es, suhunya kurang dari 0oC. Misalkan, es bersuhu –7oC, artinya suhu es tersebut 7oC di bawah nol.

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
- dapat memberikan contoh bilangan bulat;
- dapat menyatakan sebuah besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan negatif;
- dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan;
- dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat bilangan bulat termasuk operasi campuran;
- dapat menentukan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan negatif dengan negatif dan positif dengan negatif;
- dapat menaksir hasil perkalian dan pembagian bilangan bulat;
- dapat menghitung kuadrat dan pangkat tiga serta akar kuadrat dan akar pangkat tiga bilangan bulat;
- dapat menemukan dan menggunakan sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian, dan perpangkatan bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah.

Kata-Kata Kunci:
- bilangan bulat positif
- bilangan bulat negatif
- penjumlahan bilangan bulat
- pengurangan bilangan bulat
- perkalian bilangan bulat
- pembagian bilangan bulat
- perpangkatan dan akar bilangan bulat

1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat.

a. Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c. Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

d. Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e. Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

5. Jika p dan q bilangan bulat maka
1) p x q = pq;
2) (–p) x q = –(p x q) = –pq;
3) p x (–q) = –(p x q) = –pq;
4) (–p) x (–q) = p x q = pq.

6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat
a. tertutup terhadap operasi perkalian;
b. komutatif: p x q = q x p;
c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);
d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);
e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Pengertian Bilangan Bulat

1. Pengertian Bilangan Bulat
Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan, apa yang kalian peroleh? Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik 0.

Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur lagi 1 langkah ke belakang?

Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2.

Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut
himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif {..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}.

2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hari
Kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan. Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakan dengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis –10 m.

3. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan
Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut:
Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

4. Menyatakan Hubungan antara Dua Bilangan Bulat
Pada garis bilangan, makin ke kanan letak bilangan, makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat berlaku:
a. jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;
b. jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.

Pada suatu garis bilangan, bilangan –3 terletak di sebelah kiri bilangan 2 sehingga ditulis –3 < 2 atau 2 > –3. Adapun bilangan –3 terletak di sebelah kanan –5 sehingga ditulis –3 > –5 atau –5 < –3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh –5 < –3 < 2 atau 2 > –3 > –5.

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan pada Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

1) Kedua bilangan bertanda sama
Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.
Contoh:
a) 125 + 234 = 359
b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda
Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.
Contoh:
a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15
b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

2. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
a. Sifat tertutup
Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c. Mempunyai unsur identitas
Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

d. Sifat asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

3. Pengurangan pada Bilangan Bulat
Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku a – b = a + (–b).

Pernahkah kalian berbelanja di supermarket? Sebelum berbelanja, kalian pasti memperkirakan barang apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah uang yang harus dibayar. Kalian dapat memperkirakan jumlah uang yang harus dibayar jika kalian mengetahui harga dan banyaknya barang yang akan dibeli. Untuk menghitungnya, kalian tentu memerlukan cara perkalian atau menggunakan cara faktorisasi.

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
* dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar;
* dapat menentukan faktor suku aljabar;
* dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya.

Kata-Kata Kunci:
* penjumlahan bentuk aljabar
* perpangkatan bentuk aljabar
* pengurangan bentuk aljabar
* faktor suku aljabar
* perkalian bentuk aljabar
* faktorisasi bentuk aljabar
* pembagian bentuk aljabar

Di kelas VII kalian telah mempelajari mengenai bentuk-bentuk aljabar. Coba kalian ingat kembali materi tersebut, agar kalian dapat memahami bab ini dengan baik. Selain itu, kalian juga harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih dan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian berikut.

Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah. Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan z maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z. Selanjutnya, bentuk-bentuk 5x + 2y + 3z, 2x2, 4xy2, 5x2 – 1, dan (x – 1) (x + 3) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelum mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembali istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.

1. Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.
2. Konstanta
Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.
3. Koefisien
Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
4. Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.
a. Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 4a2, –2ab, ...
b. Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...
c. Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau polinom.

Perhatikan uraian berikut ini.
Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jika kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan dengan y maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y. Selanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3 kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah 5x + 9y) + (7x + 3y).

Amatilah bentuk aljabar 3x2 – 2x + 3y + x2 + 5x + 10. Suku-suku 3x2 dan x2 disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku –2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis. Coba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Sifat-sifat tersebut berlaku pada penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.

a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar
Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat. Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar.
Perkalian suku dua (ax + b) dengan skalar/bilangan k dinyatakan sebagai berikut.
k(ax + b) = kax + kb

b. Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar
Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar k dengan suku dua (ax + b) adalah k (ax + b) = kax + kb. Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk
aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut.
(ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)
= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd

Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.
(ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx2) + ax(dx) + ax(e) + b(cx2) + b(dx) + b(e)
= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be
= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

PERPANGKATAN ALJABAR

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan pada bentuk aljabar.

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan perbedaan antara 3x2, (3x)2, –(3x)2, dan (–3x)2 sebagai berikut.
a. 3x2 = 3.x.x = 3x2
b. (3x)2 = (3x).(3x) = 9x2
c. –(3x)2 = –((3x).(3x)) = –9x2
d. (–3x)2 = (–3x).(–3x) = 9x2
Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian berikut.
(a + b)1 = a + b
koefisien a dan b adalah 1 1
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3 3 1
(a + b)4 = (a + b)2 (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) = a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
koefisien a4, a3b, a2b2, ab3, dan b4 adalah 1 4 6 4 1

Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengan n bilangan asli. Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien (a + b)n membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.

Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)n dimulai dari an kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bn pada suku ke-(n + 1).

PEMFAKTORAN ALJABAR

Di kelas VII kalian telah mempelajari materi mengenai KPK dan FPB. Pada materi tersebut kalian telah mempelajari cara menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Coba ingat kembali cara menentukan faktor dari suatu bilangan. Ingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilangan adalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut. Di bagian depan telah kalian pelajari bahwa sifat distributif a(x + y) dapat dinyatakan sebagai berikut: ax + ay = a(x + y)

Dari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan tersebut memiliki faktor yang sama. Dari bentuk ax + ay = a(x + y), a dan (x + y) merupakan faktor-faktor dari ax + ay. Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.

Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut. Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapa bentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut:
1. Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif.
ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...)
ax + bx – cx = x(a + b – c)
2. Bentuk Selisih Dua Kuadrat x2 – y2
Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat.
Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 dapat dinyatakan sebagai berikut:
x2 - y2= (x + y).(x - y)
3. Bentuk x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar x2 + 2xy + y2 dan x2 – 2xy + y2 perhatikan uraian berikut:
x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2
4. Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c dengan c positif sebagai berikut:
– Pecah c menjadi perkalian faktor-faktornya.
– Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b.
Contoh:
(x + 2) (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 ........... (dihasilkan suku tiga)
Sebaliknya, bentuk suku tiga x2 + 5x + 6 apabila difaktorkan menjadi x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3). Perhatikan bahwa bentuk aljabar x2 + 5x + 6 memenuhi bentuk x2 + bx + c.

Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktorkan bentuk x2 + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan b. Misalkan x2 + bx + c sama dengan (x + m) (x + n).
x2 + bx + c = (x + m) (x + n) = x2 + mx + nx + mn = x2 + (m + n)x + mn

Sekarang kalian akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.
Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentuk aljabar.

Perhatikan uraian berikut:

Pada bentuk aljabar di atas, 2, x2, y, dan z2 adalah faktor-faktor dari 2x2yz2, sedangkan x3, y2, dan z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x3y2z. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x2yz2 dan x3y2z adalah x2, y, dan z, sehingga diperoleh

Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

MENYAJIKAN DATA DALAM BENTUK TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

Selain dalam bentuk diagram, penyajian data juga dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi. Berikut ini akan dipelajari lebih jelas mengenai tabel distribusi frekuensi tersebut.
1. Distribusi Frekuensi Tunggal
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit. Perhatikan contoh data berikut.
5, 4, 6, 7, 8, 8, 6, 4, 8, 6, 4, 6, 6, 7, 5, 5, 3, 4, 6, 6
8, 7, 8, 7, 5, 4, 9, 10, 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 7, 4, 8, 7, 6


2. Distribusi Frekuensi Bergolong
Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yang memiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika dari 40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
Apabila data di atas dibuat dengan menggunakan tabel distribusi frekuensi tunggal, maka penyelesaiannya akan panjang sekali. Oleh karena itu dibuat tabel distribusi frekuensi bergolong dengan langkah-langkah sebagai berikut.
a. Mengelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang, misalnya 65 – 67, 68 – 70, … , 80 – 82. Data 66 masuk dalam kelompok 65 – 67.
b. Membuat turus (tally), untuk menentukan sebuah nilai termasuk ke dalam kelas yang mana.
c. Menghitung banyaknya turus pada setiap kelas, kemudian menuliskan banyaknya turus pada setiap kelas sebagai frekuensi data kelas tersebut. Tulis dalam kolom frekuensi.
d. Ketiga langkah di atas direpresentasikan pada tabel berikut ini.

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.
a. Interval Kelas
Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.
65 – 67 → Interval kelas pertama
68 – 70 → Interval kelas kedua
71 – 73 → Interval kelas ketiga
74 – 76 → Interval kelas keempat
77 – 79 → Interval kelas kelima
80 – 82 → Interval kelas keenam
b. Batas Kelas
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79, dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.
d. Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
e. Titik Tengah

3. Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

4. Histogram
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan sebagai berikut.

5. Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya
dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.

6. Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.


b. Ogive naik dan ogive turun
Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5) diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive, yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.

INTEGRAL

Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar, kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat mengetahuinya.

A. KONSEP TURUNAN
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.



B. INTEGRAL TAK TENTU

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.




1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari.
2. Aturan Integral Substitusi Trigonometri

PENGENALAN ALJABAR

Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (3x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 200 km?

A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

Perhatikan ilustrasi berikut:
Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah. Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x2 – 3x + 7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis.

Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut:

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor
Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian
Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan
Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.
Perhatikan uraian berikut:


Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

4. Pembagian
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar
Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut:


C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut:

b. Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut:

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut:

LOGARITMA

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

Mencari nilai logaritma:
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
* Tabel
* Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Kegunaan logaritma:
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Rumus Logaritma:

Sains dan teknik:
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

* Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

* Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

* Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

* Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah:
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:

Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

PERSAMAAN GARIS DAN GRADIEN

Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam bentuk y = mx + c dengan m dan c suatu konstanta. Persamaan garis yang melalui titik (0, c) dan sejajar garis y = mx adalah y = mx + c. Langkah-langkah menggambar grafik persamaan y = mx atau y = mx + c sebagai berikut:
– Tentukan dua titik yang memenuhi persamaan garis tersebut dengan membuat tabel untuk mencari koordinatnya.
– Gambar dua titik tersebut pada bidang koordinat Cartesius.
– Hubungkan dua titik tersebut, sehingga membentuk garis lurus yang merupakan grafik persamaan yang dicari.

Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x. Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m dan melalui titik (0, 0). Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m dan melalui titik (0, c). Garis dengan persamaan ax + by + c = 0 memiliki gradien (-a/b).

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah (y2-y1)/(x2-x1). Gradien garis yang sejajar sumbu X adalah nol. Gradien garis yang sejajar sumbu Y tidak didefinisikan. Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah –1.

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah y – y1 = m(x – x1). Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan sejajar garis y = mx + c adalah y – y1 = m(x – x1). Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan tegak lurus garis y = mx + c adalah y – y1 = (-1/m)(x – x1).

Persamaan garis yang melalui dua titik dapat diselesaikan dengan substitusi ke fungsi linear y = ax + b. Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)
adalah (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1).

RUMUS-RUMUS FISIKA SMA

Download Rumus Fisika Kls X
• Rumus Besaran & Satuan
• Rumus Vektor
• Rumus Gerak Lurus
• Rumus Gerak Melingkar
• Rumus Gerak Parabola
• Rumus Hukum Newton
• Rumus Suhu & Pemuaian
• Rumus Kalor & Perpindahannya
• Rumus Cahaya
• Rumus Alat Optik
• Rumus Hambatan Listrik

Download Rumus Fisika Kls XI
• Rumus Gerak Translasi
• Rumus Gravitasi
• Rumus Gerak Harmonik
• Rumus Elastisitas
• Rumus Usaha & Energi
• Rumus Impuls & Momentum
• Rumus Gerak Rotasi
• Rumus Fluida
• Rumus Teori Kinetik Gas
• Rumus Termodinamika

Download Rumus Fisika Kls XII
• Rumus Radioaktif
• Rumus Arus Bolak-Balik RLC
• Rumus Gelombang Mekanis
• Rumus Relativitas
• Rumus Teori Atom
• Rumus Gelombang Elektromagnetik
• Rumus Medan Magnet
• Rumus Induksi Elektromagnet
• Rumus Dualisme Gelombang Partikel
• Rumus Listrik Statis

RUMUS-RUMUS KIMIA SMA

Download Rumus Kimia Kls X
• Materi
• Struktur Atom & SPU
• Ikatan Kimia Dasar
• Tata Nama Senyawa
• Persamaan Reaksi
• Hukum Dasar Kimia
• Stoikiometri
• Elektrolit & Nonelektrolit
• Redoks Dasar
• Minyak Bumi
• Kimia Karbon

Download Rumus Kimia Kls XI
• Struktur Atom Lanjutan
• Ikatan Kimia Lanjutan
• Laju Reaksi
• Termokimia
• Kesetimbangan Kimia
• Asam Basa, Buffer, Hidrolisis
• Konsentrasi Larutan
• Stoikiometri Larutan
• Kelarutan & KSP
• Koloid
• Titrasi

Download Rumus Kimia Kls XII
• Sifat Koligatif Larutan
• Redoks & Elektrokimia
• Senyawa Karbon
• Lalu Lintas Karbon
• Iodometri & Pemanganometri
• Lipid
• Protein
• Karbohidrat
• Golongan Alkali (IA)
• Golongan Alkali Tanah (IIA)
• Unsur Periode Ke Tiga
• Unsur Periode Ke Empat
• Golongan Halogen (VIIA)
• Golongan Gas Mulia (VIIIA)
• Radioaktif
• Polimerisasi